I ricercatori scoprono un'unica forma che affianca l'aereo in modo aperiodico senza riflessione

Sep 10, 2023

5 luglio 2023

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di Joe Petrik, Università di Waterloo

Recentemente, un team internazionale di quattro persone, tra cui il dottor Craig Kaplan, professore della Cheriton School of Computer Science, ha scoperto un'unica forma che piastrella il piano, una superficie bidimensionale infinita, in uno schema che non può mai essere ripetuto.

La scoperta ha incantato i matematici, gli appassionati di piastrellatura e il pubblico.

La forma, un poligono di 13 lati chiamato "il cappello", è nota ai matematici come un monotile aperiodico o un "einstein", le parole tedesche che significano "una pietra".

Ma la scoperta più recente del team ha alzato ancora una volta il livello. Hanno trovato un'altra forma, correlata alla prima, che soddisfa una definizione ancora più rigorosa. Soprannominata lo "spettro", la nuova forma affianca un piano in uno schema che non si ripete mai senza l'uso di immagini speculari della forma. Per questo motivo è stato anche chiamato "vampiro einstein", una forma che si affianca aperiodicamente senza richiedere il suo riflesso.

"Il nostro primo articolo ha risolto il problema di Einstein, ma poiché la forma richiedeva riflessione per essere piastrellata aperiodicamente, le persone hanno sollevato una domanda legittima: esiste una forma che può fare quello che fa il cappello ma senza riflessione", spiega Kaplan. "È stata una nostra fortuna aver trovato una forma che non solo risolve questo sottoproblema, ma lo ha anche risolto così presto dopo il primo articolo."

Per i matematici, il cappello e la sua immagine speculare sono un'unica forma, ma nel mondo fisico le forme mancine e destrorse possono comportarsi diversamente. Non puoi, ad esempio, indossare un guanto per destrimani sulla mano sinistra.

"Se piastrellassi aperiodicamente il pavimento di un grande bagno con piastrelle a forma di cappello smaltate su un lato, avresti bisogno di cappelli e immagini speculari di cappelli", afferma Kaplan.

Ma non è stato questo cavillo a motivare la recente scoperta.

La scoperta del vampiro Einstein è iniziata con le riflessioni di David Smith, un tecnico di stampa in pensione e autodefinito hobbista di forme dello Yorkshire, in Inghilterra, la cui curiosità mesi prima aveva portato alla scoperta originale di Einstein.

"Dave ci ha inviato un'e-mail un paio di giorni dopo che il nostro documento sul cappello è andato online per dire che stava giocando con una forma correlata che sembrava comportarsi in modo strano", dice Kaplan. "Yoshiaki Araki, un matematico giapponese e un noto artista il cui lavoro è nello spirito di MC Escher, aveva pubblicato immagini di Tile(1,1) che hanno interessato Dave a esaminarlo ulteriormente."

Yoshiaki ha postato una domanda intrigante su Twitter: "Una tassellazione di tartaruga aperiodica basata sulla nuova piastrella monotile aperiodica Tile(1, 1.1). Nella piastrellatura, si dice che circa il 12,7% delle piastrelle si riflette. Quella verde è un esempio. Un'altra la tartaruga riflessa è nascosta nella piastrellatura. Chi è la tartaruga riflessa?'"

"Yoshi ha trasformato la tessera (1,1) in tartarughe ed è un po' difficile vedere l'altra tartaruga riflessa in quella foto. Ma ha incuriosito Dave. E se piastrellassimo con questa forma ma senza riflessi? Mentre lo faceva, Dave scoprì che poteva costruire piastrellature progressivamente verso l'esterno secondo uno schema che non si fermava e non si ripeteva."

Ma poi questa forma è arrivata con un cavillo diverso. Come spiega Kaplan, se usi le riflessioni di Tile(1,1) lo schema si ripete. In altre parole, è periodico. Ma se Tile(1,1) viene modificato sostituendo i suoi bordi dritti con curve, diventa un vampiro Einstein: un'unica forma che senza riflessione piastrella il piano infinito in uno schema che non può mai essere ripetuto.